Gradient과 convolution이 있을 때 equality

\[\begin{aligned}
(p_0 * \phi)(U)&=\int p_0(W)\phi(U-W)dW\\
\nabla (p_0 * \phi)(U)&=\nabla \int p_0(W)\phi(U-W)dW\\
&=\frac{\partial}{\partial U}\int p_0(W)\phi(U-W)dW\\
&=\int p_0(W) (\frac{\partial}{\partial U} \phi(U-W))dW\\
&=(p_0 * \nabla \phi)(U)
\end{aligned}\]
Gradient가 어느 한 쪽으로 몰아 들어갈 수 있다. Partial derivative가 적분 안으로 들어갈 때의 조건은 생략한다.