Reynolds transport theorem

Reynolds tranport theorem은 Leibniz integral rule의 3차원 generalization 버전이다.

Statement

\[
\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)}f(t,x)dx=\int_{\Omega(t)}[\partial_t f+\nabla \cdot (fv)](t,x)dx
\]

여기서 divergence theorem에 의해

\[
\frac{d}{dt}\int_{\Omega(t)}f(t,x)dx=\int_{\Omega(t)}\partial_t fdx +\int_{\partial \Omega(t)}fv\cdot ndS
\]

이때 \(\partial_t f(t,x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h,x)-f(t,x)}{h}\)이고 \(v\)는 아래를 만족하는 시스템이다.

\[\dot{\Phi}_t(a)=v(t,\Phi_t(a))\]

여기서 \(\Phi_t\)는 flow이고 \(a\)는 initial state이다.