Limsup Liminf Intution

\(\limsup\)과 \(\liminf\)를 직관적으로 접근하는 법

\({A_n}\)이 있으면

\[S_1=A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots \subset A_1 \subset A_1 \cup A_2 \cup A_3\cup \cdots = B_1\]

\[S_2=\quad A_2 \cap A_3 \cap \cdots \subset A_2 \subset \quad \cup A_2 \cup A_3\cup \cdots = B_2\]

\[S_3=\quad \quad A_3 \cap \cdots \subset A_3 \subset \quad \quad A_3\cup \cdots = B_3\]

이렇게 하면 당연히 \(S_n\)은 increasing set이고 \(B_n\)은 decreasing set이 된다. 왜? \(S_n\)은 교집합으로 되어있던게 하나씩 빠지니까 당연히 같거나 커지게 되고 \(B_n\)은 합집합으로 되어있던게 하나씩 빠지니까 같거나 작아지게 된다.

따라서 \(\lim_{n\to \infty}S_n=\cup_{n=1}^{\infty}S_n\)이고 \(\lim_{n\to \infty}B_n=\cap_{n=1}^{\infty}B_n\)이다.

\(S_n=\cap_{j=n}^{\infty}A_j\)이고 \(B_n=\cup_{j=n}^{\infty}A_j\)인데

\(S_n \subset A_n \subset B_n \)이므로

\[\liminf_{n \to \infty}A_n=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{j=n}^{\infty}A_j\]

\[\limsup_{n \to \infty}A_n=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{j=n}^{\infty}A_j\]

이해는 했고, 외우는 법은?

\(\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{j=n}^{\infty}A_j\)에서 두번째 합 or 교집합만 보면 된다. 그 모양대로 sup이나 inf의 두번째 알파벳 모양이 된다. liminf은 inf의 두번째 글자가 n이므로 두번째 교집합이 되고 (\(\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{j=n}^{\infty}A_j\)) limsup은 sup의 두번째 글짜가 u이므로 두번째 합집합이 된다.(\(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{j=n}^{\infty}A_j\))