Limsup Liminf Intution

$lim sup$과 $lim inf$를 직관적으로 접근하는 법

$A_n$이 있으면

$$S_1=A_1\cap A_2\cap A_3\cap \cdots \subset A_1\subset A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots =B_1$$

$$S_2=A_2\cap A_3\cap \cdots \subset A_2\subset \cup A_2\cup A_3\cup \cdots =B_2$$

$$S_3=A_3\cap \cdots \subset A_3\subset A_3\cup \cdots =B_3$$

이렇게 하면 당연히 $S_n$은 increasing set이고 $B_n$은 decreasing set이 된다. 왜? $S_n$은 교집합으로 되어있던게 하나씩 빠지니까 당연히 같거나 커지게 되고 $B_n$은 합집합으로 되어있던게 하나씩 빠지니까 같거나 작아지게 된다.

따라서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n={\cup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$이고 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_n={\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$이다.

$S_n={\cap }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$이고 $B_n={\cup }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$인데

$S_n\subset A_n\subset B_n$이므로

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{A}_n={\cup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\cap }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{A}_n={\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\cup }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$$

이해는 했고, 외우는 법은?

${\cup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\cap }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$에서 두번째 합 or 교집합만 보면 된다. 그 모양대로 sup이나 inf의 두번째 알파벳 모양이 된다. liminf은 inf의 두번째 글자가 n이므로 두번째 교집합이 되고 (${\cup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\cap }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$) limsup은 sup의 두번째 글짜가 u이므로 두번째 합집합이 된다.(${\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\cup }_{j=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$)