원래 알던 정의:
$$\limsup_n x_n := \lim_{n\rightarrow \infty} \sup_{k \geq n} x_k$$
새로 발견한 정의:
$$\limsup_n x_n := \inf_m \{ \sup_{n\geq m}x_n\}$$
둘이 동치임을 증명:
$$X_m = \sup_{n \geq m} x_n$$
이라 하면 \(X_m\)은 \(X_{m+1} \leq X_m\) 이므로 non-increasing sequence임. decreasing 하거나 그대로거나.
$$\Rightarrow \lim_{m\rightarrow \infty} X_m = \inf_m X_m$$
$$\Rightarrow\lim_{m\rightarrow \infty} \sup_{n \geq m} x_n= \inf_m \{ \sup_{n\geq m}x_n\}$$
마찬가지로 liminf <=> sup{inf}에 대해서도 가능함.
'통계' 카테고리의 다른 글
Measure theoretic description of change-of-variables (0) | 2025.01.01 |
---|---|
Measure theoretic description of KL divergence (0) | 2024.12.31 |
급수 수렴 판정법 (0) | 2024.06.26 |
수열 수렴 판정법 (0) | 2024.06.26 |
LASSO, Ridge regression (0) | 2024.06.26 |