limsup <=> inf{sup}

원래 알던 정의:

$$\limsup_n x_n := \lim_{n\rightarrow \infty} \sup_{k \geq n} x_k$$

새로 발견한 정의:

$$\limsup_n x_n := \inf_m \{ \sup_{n\geq m}x_n\}$$

둘이 동치임을 증명:

$$X_m = \sup_{n \geq m} x_n$$

이라 하면 \(X_m\)은 \(X_{m+1} \leq X_m\) 이므로 non-increasing sequence임. decreasing 하거나 그대로거나.

$$\Rightarrow \lim_{m\rightarrow \infty} X_m = \inf_m X_m$$

$$\Rightarrow\lim_{m\rightarrow \infty} \sup_{n \geq m} x_n= \inf_m \{ \sup_{n\geq m}x_n\}$$

 

마찬가지로 liminf <=> sup{inf}에 대해서도 가능함.