limsup <=> inf{sup}

원래 알던 정의:

$$\underset{n}{lim sup}{x}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{x}_k$$

새로 발견한 정의:

$$\underset{n}{lim sup}{x}_n:=\underset{m}{inf}\{\underset{n\ge m}{sup}{x}_n\}$$

둘이 동치임을 증명:

$$X_m=\underset{n\ge m}{sup}{x}_n$$

이라 하면 $X_m$은 $X_{m+1}\le X_m$ 이므로 non-increasing sequence임. decreasing 하거나 그대로거나.

$$\Rightarrow \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_m=\underset{m}{inf}{X}_m$$

$$\Rightarrow \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\ge m}{sup}{x}_n=\underset{m}{inf}\{\underset{n\ge m}{sup}{x}_n\}$$

 

마찬가지로 liminf <=> sup{inf}에 대해서도 가능함.