전자/선형대수학 (15) 썸네일형 리스트형 Inequalities 모음 Triangle Inequality \[|A+B| \leq |A| + |B|\] \[\left|\int_0^tf(t)g(t)dt\right| \leq \int_0^t|f(t)g(t)|dt\] proof: \[-|A|\leq A \leq |A|\] \[-|B| \leq B \leq |B| \] \[-|A|-|B| \leq A+B \leq |A|+|B|\] \[|A+B| \leq |A|+|B|\] Cauchy-Schwarz Inequality \[|\langle\textbf{v},\textbf{w}\rangle|^2\leq\langle\textbf{v},\textbf{v} \rangle\cdot\langle\textbf{w},\textbf{w} \rangle\] \[\left|\int_0^tf(t)g(t)d.. M=H'H 일때 M은 nonnegative eigenvalue를 가짐을 증명 \[ M=H'H \] \[ Mv = \lambda v\] \[ v'Mv = \lambda v'v \] \[ v'H'Hv = \lambda v'v \] \[ (Hv)'Hv = \lambda v'v \] \[ w = Hv, w'w \geq 0\] \[ \lambda v'v \geq 0\] \[ \lambda \geq 0\] Proof done by ChatGPT. Do eigenvalues equal singular values? Nope. 반례: \( \left[\begin{matrix} 1&1\\0&0\end{matrix}\right] \) 이 행렬의 eigenvalue는 \(1, 0\) singular value는 \( \sqrt{2},0\) H'H와 HH'는 같은 eigenvalue를 가지는가? \(det(sI_m-HH')=s^{m-n}det(sI_n-H'H)\) 이므로 HH'와 H'H는 s=0의 개수만 다른, 같은 polynomial이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 HH'와 H'H는 같은 non-zero eigenvalue를 가진다. Geometric multiplicity https://people.math.carleton.ca/~kcheung/math/notes/MATH1107/10/10_algebraic_and_geometric_multiplicities.htmlGeometric multiplicity란 \(\lambda\)의 eigenvector가 span하는 공간의 차원임.Multiplicity는 A에 대해 따지는 것이 아니고 \(\lambda\)에 대해 따지는 것임.ex) Geometric multiplicity of \(\lambda_1\)ex) Algebraic multiplicity of \(\lambda_1\)Algebraic multiplicity는 characteristic equation에서 \(\lambda\)가 곱해진 횟수임.Algebraic mu.. Cayley-Hamilton과 나눗셈을 이용해서 무한을 유한하게 만들기 ! DISCLAIMER: 이 설명은 잘못됐을수도있음 $$\Delta(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)...(\lambda-\lambda_n) $$ $$\Delta(\lambda_1)=(\lambda_1-\lambda_1)...(\lambda-\lambda_n)=0$$ 위 식을 이용할 것이다. $$f(\lambda)=q(\lambda)\Delta(\lambda)+h(\lambda)$$ $$h(\lambda)=\beta_0+\beta_1\lambda+...+\beta_{n-1}\lambda^{n-1}$$ \(f(\lambda)\) 를 나눗셈 하는 식으로 나눈다. 만약 위 식에 eigenvalue를 대입하면 \(\Delta(\lambda)=0\) 이므로 $$f(\lambda_1)=h(\lam.. Generalized Eigenvectors Generalized Eigenvector Definition A vector \(v_m\)is a generalized eigenvector of rank m of a matrix \(A\) and corresponding to the eigenvalue \(\lambda\) if $$(A-\lambda I)^mv_m=0$$ But $$(A-\lambda I)^{m-1}v_m\neq 0$$ 예시 Chain of generalized eigenvectors of length m=3 m = 3이고 $$(A-\lambda_1 I)^3v=0$$ 일 때 $$\begin{align}v_3&:=v\\v_2&:=(A-\lambda_1I)v_3\\v_1&:=(A-\lambda_1I)v_2=(A-\lambda_1I)^2.. Jordan form 모든 square matrix는 similarity transform에 의해 jordan form으로 변환 가능하다. $$\textbf{x}=Q\bar{\textbf{x}}$$ 이때 Q는 eigenvector를 모은 행렬이다. $$Q=[q_1\quad q_2\quad q_3\quad ...\quad q_n]$$ 그렇다면 \(\bar{\textbf{x}}\)는 \(\textbf{x}\)를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. $$Ax = y$$ $$AQ\bar{x}=Q\bar{y}$$ $$Q^{-1}AQ=\hat{A}$$ \(\hat{A}\)는 \(A\)를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. 참고로, $$AQ=Q\hat{A}$$ $$A[q_1 \quad q_2 \quad ... q_n]=[q_1\qu.. 이전 1 2 다음