전자/선형대수학 (15) 썸네일형 리스트형 Inequalities 모음 Triangle Inequality |A+B|≤|A|+|B| |∫0tf(t)g(t)dt|≤∫0t|f(t)g(t)|dt proof: −|A|≤A≤|A| −|B|≤B≤|B| −|A|−|B|≤A+B≤|A|+|B| |A+B|≤|A|+|B| Cauchy-Schwarz Inequality |⟨v,w⟩|2≤⟨v,v⟩⋅⟨w,w⟩ \[\left|\int_0^tf(t)g(t)d.. M=H'H 일때 M은 nonnegative eigenvalue를 가짐을 증명 M=H′H Mv=λv v′Mv=λv′v v′H′Hv=λv′v (Hv)′Hv=λv′v w=Hv,w′w≥0 λv′v≥0 λ≥0 Proof done by ChatGPT. Do eigenvalues equal singular values? Nope. 반례: [1100] 이 행렬의 eigenvalue는 1,0 singular value는 2,0 H'H와 HH'는 같은 eigenvalue를 가지는가? det(sIm−HH′)=sm−ndet(sIn−H′H) 이므로 HH'와 H'H는 s=0의 개수만 다른, 같은 polynomial이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 HH'와 H'H는 같은 non-zero eigenvalue를 가진다. Geometric multiplicity https://people.math.carleton.ca/~kcheung/math/notes/MATH1107/10/10_algebraic_and_geometric_multiplicities.htmlGeometric multiplicity란 λ의 eigenvector가 span하는 공간의 차원임.Multiplicity는 A에 대해 따지는 것이 아니고 λ에 대해 따지는 것임.ex) Geometric multiplicity of λ1ex) Algebraic multiplicity of λ1Algebraic multiplicity는 characteristic equation에서 λ가 곱해진 횟수임.Algebraic mu.. Cayley-Hamilton과 나눗셈을 이용해서 무한을 유한하게 만들기 ! DISCLAIMER: 이 설명은 잘못됐을수도있음 Δ(λ)=(λ−λ1)...(λ−λn) Δ(λ1)=(λ1−λ1)...(λ−λn)=0 위 식을 이용할 것이다. f(λ)=q(λ)Δ(λ)+h(λ) h(λ)=β0+β1λ+...+βn−1λn−1 f(λ) 를 나눗셈 하는 식으로 나눈다. 만약 위 식에 eigenvalue를 대입하면 Δ(λ)=0 이므로 $$f(\lambda_1)=h(\lam.. Generalized Eigenvectors Generalized Eigenvector Definition A vector vmis a generalized eigenvector of rank m of a matrix A and corresponding to the eigenvalue λ if (A−λI)mvm=0 But (A−λI)m−1vm≠0 예시 Chain of generalized eigenvectors of length m=3 m = 3이고 (A−λ1I)3v=0 일 때 $$\begin{align}v_3&:=v\v_2&:=(A-\lambda_1I)v_3\v_1&:=(A-\lambda_1I)v_2=(A-\lambda_1I)^2.. Jordan form 모든 square matrix는 similarity transform에 의해 jordan form으로 변환 가능하다. x=Qx¯ 이때 Q는 eigenvector를 모은 행렬이다. Q=[q1q2q3...qn] 그렇다면 x¯는 x를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. Ax=y AQx¯=Qy¯ Q−1AQ=A^ A^는 A를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. 참고로, AQ=QA^ $$A[q_1 \quad q_2 \quad ... q_n]=[q_1\qu.. 이전 1 2 다음 목록 더보기