Cayley-Hamilton과 나눗셈을 이용해서 무한을 유한하게 만들기

! DISCLAIMER: 이 설명은 잘못됐을수도있음

 

$$\mathrm{\Delta }(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)...(\lambda -{\lambda }_n)$$

$$\mathrm{\Delta }({\lambda }_1)=({\lambda }_1-{\lambda }_1)...(\lambda -{\lambda }_n)=0$$
위 식을 이용할 것이다.

$$f(\lambda )=q(\lambda )\mathrm{\Delta }(\lambda )+h(\lambda )$$

$$h(\lambda )={\beta }_0+{\beta }_1\lambda +...+{\beta }_{n-1}{\lambda }^{n-1}$$

$f(\lambda )$ 를 나눗셈 하는 식으로 나눈다. 만약 위 식에 eigenvalue를 대입하면 $\mathrm{\Delta }(\lambda )=0$ 이므로 

$$f({\lambda }_1)=h({\lambda }_1)$$

가 된다. $f$가 무한하게 더해지는 모양이다 하더라도 eigenvalue를 대입하면 유한하게 된다.
Cayley-Hamilton theorem에 의해 아래와 같이 된다.

$$f(A)=q(A)\mathrm{\Delta }(A)+h(A)$$

$$=h(A)$$

만약 eigenvalue가 double 이상이 나왔다면 미분을 통해 $h$에서 $A$ 계수를 찾으면 된다.

$$f^{\prime }(\lambda )=h^{\prime }(\lambda )={\beta }_1+{\beta }_2\lambda +...$$