Cayley-Hamilton과 나눗셈을 이용해서 무한을 유한하게 만들기

! DISCLAIMER: 이 설명은 잘못됐을수도있음

 

$$\Delta(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)...(\lambda-\lambda_n) $$

$$\Delta(\lambda_1)=(\lambda_1-\lambda_1)...(\lambda-\lambda_n)=0$$
위 식을 이용할 것이다.

$$f(\lambda)=q(\lambda)\Delta(\lambda)+h(\lambda)$$

$$h(\lambda)=\beta_0+\beta_1\lambda+...+\beta_{n-1}\lambda^{n-1}$$

\(f(\lambda)\) 를 나눗셈 하는 식으로 나눈다. 만약 위 식에 eigenvalue를 대입하면 \(\Delta(\lambda)=0\) 이므로 

$$f(\lambda_1)=h(\lambda_1)$$

가 된다. \(f\)가 무한하게 더해지는 모양이다 하더라도 eigenvalue를 대입하면 유한하게 된다.
Cayley-Hamilton theorem에 의해 아래와 같이 된다.

$$f(A)=q(A)\Delta(A)+h(A)$$

$$=h(A)$$

만약 eigenvalue가 double 이상이 나왔다면 미분을 통해 \(h\)에서 \(A\) 계수를 찾으면 된다.

$$f'(\lambda)=h'(\lambda)=\beta_1+\beta_2\lambda+...$$