Jordan form

모든 square matrix는 similarity transform에 의해 jordan form으로 변환 가능하다.

$$\mathbf{\text{x}}=Q\overline{\mathbf{\text{x}}}$$

이때 Q는 eigenvector를 모은 행렬이다.

$$Q=[q_1{q}_2{q}_3...q_n]$$

그렇다면 $\overline{\mathbf{\text{x}}}$는 $\mathbf{\text{x}}$를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다.

$$Ax=y$$

$$AQ\overline{x}=Q\overline{y}$$

$$Q^{-1}AQ=\hat{A}$$

$\hat{A}$는 $A$를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. 참고로,

$$AQ=Q\hat{A}$$

$$A[q_1{q}_2...q_n]=[q_1{q}_2...q_n]\hat{A}$$

이다. 행렬 $\hat{A}$의 $i^{th}$열을 ${\hat{A}}_i$라 한다면

$$A{q}_i=[q_1{q}_2...q_n]{\hat{A}}_i$$

가 된다. 이를 이용해 $\hat{A}$를 구할 수 있다.

Jordan form

$$Aq=\lambda q$$

여기서 $q$는 eigenvector이다. 여러 유일한 eigenvalue가 있고 그에 해당하는 eigenvector가 유일하다면

$$A{q}_i={\lambda }_i{q}_i$$

$$A{q}_i=[q_1{q}_2...q_n]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ {\lambda }_i\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$$

가 되고 최종 $\hat{A}$의 모양은 아래와 같이 된다.

$$\hat{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& ...& 0\\ 0& {\lambda }_2& ...& 0\\ ⋮\\ 0& 0& ...& {\lambda }_n\end{array}\right]$$

이때 하나의 eigenvalue에 여러 eigenvector가 존재할 수 있다.
(eigenvector는 유일하지 않다.)
$\mathrm{\Delta }(\lambda )=0$의 해가 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$이고 ${\lambda }_1$은 두번 중복되며 ${\lambda }_1$의 eigenvector는 2개라고 한다면
(${\lambda }_1$의 geometric multiplicity가 algebraic multiplicity와 같은 경우)
(diagonalizable)

$$\hat{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$$

$\mathrm{\Delta }(\lambda )=0$의 해가 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$이고 ${\lambda }_1$은 두번 중복되며 ${\lambda }_1$의 eigenvector는 1개라고 한다면
(${\lambda }_1$의 geometric multiplicity가 algebraic multiplicity보다 작은 경우)

$$\hat{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 1& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$$

2번째 경우처럼 어떤 eigenvalue가 geometric multiplicity < algebraic multiplicity인 경우 generalized eigenvector를 이용해서 마치 eigenvector가 있는 양 맞춰주어야 한다.

[[ Generalized eigenvectors ]]