Jordan form

모든 square matrix는 similarity transform에 의해 jordan form으로 변환 가능하다.

$$\textbf{x}=Q\bar{\textbf{x}}$$

이때 Q는 eigenvector를 모은 행렬이다.

$$Q=[q_1\quad q_2\quad q_3\quad ...\quad q_n]$$

그렇다면 \(\bar{\textbf{x}}\)는 \(\textbf{x}\)를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다.

$$Ax = y$$

$$AQ\bar{x}=Q\bar{y}$$

$$Q^{-1}AQ=\hat{A}$$

\(\hat{A}\)는 \(A\)를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. 참고로,

$$AQ=Q\hat{A}$$

$$A[q_1 \quad q_2 \quad ... q_n]=[q_1\quad q_2\quad ...\quad q_n]\hat{A}$$

이다. 행렬 \(\hat{A}\)의 \(i^{th}\)열을 \(\hat{A}_{i}\)라 한다면

$$Aq_i = [q_1\quad q_2\quad ... \quad q_n]\hat{A}_i$$

가 된다. 이를 이용해 \(\hat{A}\)를 구할 수 있다.

Jordan form

$$Aq=\lambda q$$

여기서 \(q\)는 eigenvector이다. 여러 유일한 eigenvalue가 있고 그에 해당하는 eigenvector가 유일하다면

$$Aq_i=\lambda_iq_i$$

$$Aq_i=[q_1\quad q_2 \quad ... \quad q_n]\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\ \lambda_i \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

가 되고 최종 \(\hat{A}\)의 모양은 아래와 같이 된다.

$$\hat{A}=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\ \vdots \\0&0&...&\lambda_n\end{bmatrix}$$

이때 하나의 eigenvalue에 여러 eigenvector가 존재할 수 있다.
(eigenvector는 유일하지 않다.)
\(\Delta(\lambda)=0\)의 해가 \(\lambda_1,\lambda_2\)이고 \(\lambda_1\)은 두번 중복되며 \(\lambda_1\)의 eigenvector는 2개라고 한다면
(\(\lambda_1\)의 geometric multiplicity가 algebraic multiplicity와 같은 경우)
(diagonalizable)

$$\hat{A}=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_1&0\\0&0&\lambda_2\end{bmatrix}$$

\(\Delta(\lambda)=0\)의 해가 \(\lambda_1,\lambda_2\)이고 \(\lambda_1\)은 두번 중복되며 \(\lambda_1\)의 eigenvector는 1개라고 한다면
(\(\lambda_1\)의 geometric multiplicity가 algebraic multiplicity보다 작은 경우)

$$\hat{A}=\begin{bmatrix}\lambda_1&1&0\\ 0&\lambda_1&0\\ 0&0&\lambda_2\end{bmatrix}$$

2번째 경우처럼 어떤 eigenvalue가 geometric multiplicity < algebraic multiplicity인 경우 generalized eigenvector를 이용해서 마치 eigenvector가 있는 양 맞춰주어야 한다.

[[ Generalized eigenvectors ]]