3. Inverses and LU Factorization

역행렬 만들기

\[EA=I \quad \textrm{and} \quad AE=I\] 

이때 \(E\)는 \(A\)를 Identity로 만드는 행렬이다. \(E\)와 \(A\)를 곱하면 \(I\)가 나오기 때문에 \(E=A^{-1}\)로 간주할 수 있다.

\[E=A^{-1}\]

\(A^{-1}\)와 \(A\)의 곱이 \(I\)가 되어야 하기 때문에 \(A\)는 정사각행렬이어야한다.

정사각행렬이 아닐 때에 대해선 left inverse와 right inverse를 참조한다.

---

LU Factorization

\[EA=U\]

\(U\)는 Upper Triangle Matrix이다. 가우스 소거법을 통해 만들어지는 그것이다. 또한 \(E\)는 가우스 소거법을 할때 \(A\)에 곱해지는 행렬이다. 우리가 가우스 소거법을 할 때엔 단번에 행렬을 만들고 바로 \(A\)를 \(U\)로 만들지 않았다. 피봇 별로 행 연산을 여러번 하여 \(U\)를 얻었다. 따로 따로 연산을 시키는 행렬들을 모두 곱하면 단번에 \(U\)를 구하는 \(E\)가 된다.

예를들어, 3by3 행렬에서

\[E=E_{32} E_{31} E_{21} \]

이런 식으로 된다. \(E_{21}\)은 두번째 행에서 첫번째 행을 빼는 연산을 하는 행렬이고 \(E_{31}\)은 세번째 행에서 첫번째 행을 빼는 연산을 하는 행렬이다. 가우스 소거법을 한 순서의 역순으로 곱해진다. 연산 순서가 스택처럼 쌓여가는 느낌으로 받아들이면 된다.

\[A = E^{-1}U = LU\]

\(E^{-1}\)는 Lower Triangle Matrix가 된다. 참고로,

\[E^{-1} = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}\]

이다.

---

PA=LU

\(A\)가 행 바꿈을 필요로 한다면 퍼뮤테이션 행렬이 추가된다.

\[PA=LU\]

퍼뮤테이션 행렬의 중요 성질은 트랜스포즈가 역과 같다는 것이다.

\[P^{-1}=P^T\]

---

Schur Complement

처음에 좀 생소하였는데 이건 블록 행렬에 가우스 소거법을 적용하는 것이다.

\[\left[\begin{array}{c|c}I & \boldsymbol{0} \\ \hline -CA^{-1} & I\end{array}\right] \left[\begin{array}{c|c}A&B\\ \hline C&D\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c|c}A&B\\ \hline \boldsymbol{0}&D-CA^{-1}B\end{array}\right]\]