Eigenvalue, trace, determinant and rank of a matrix 간의 관계들

Trace

• \(tr(A) = \sum_{i=0}^{n}\lambda_i\)

Determinant

• \(det(A) = \prod_{i=0}^n\lambda_i\)
• Proof(맞는진 모름):
  • \[det(A-\lambda I) = (-1)^n(\lambda-\lambda_1)...(\lambda-\lambda_n) = (\lambda_1 - \lambda)...(\lambda_n-\lambda)\]
  • \[det(A-\lambda I)|_{\lambda=0}=det(A)=\lambda_1...\lambda_n\]

Rank

• \(rank(A) = number\ of\ nonzero\ eigenvalues.\)

\(\lambda\)가 eigenvalue of \(A\) 이면 \(f(\lambda)\)도 \(f(A)\)의 eigenvalue이다.

증명:f를 테일러전개하면 됨.