4. Vector Spaces

<Vector Space>

Vector들의 linear combination(multiplication, adding)로 무한한 벡터들을 모은 집합이 vector space이다. Vector가 \(R^{n}\) 에 있었다면 space도 \(R^{n}\) 안에 있어야 한다. Vector space의 예로 M: matrix vectorspace, F: consists of all real functions 등이 있다.

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<Subspace>

Vector space 안의 특정 벡터들로 만들어지는 또다른 (column) vector space이다. 예1) \(R^{2}\) 에서 원점을 지나는 직선은 subspace이다. 예2) \(R^{3}\) 에서 \(R^{3}\), line, zero vector는 \(R^{3}\) 의 subspace이다.

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<\(Ax=b\)>

Column space

\[Ax=\begin{bmatrix}1&1&2 \\ 2&1&3 \\ 3&1&4 \\ 4&1&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix}\]

 

Column space of \(A\) (\(C(A)\))는 \(\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}\) 의 linear combination이다.

 

\(x\) 가 존재하려면 \(b\) 는 column space of \(A\) 위에 있어야 한다.

 

\[x_1\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{bmatrix}\]

 

그런데 현재 \(A\) 는 \(\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}\) 이므로 3개의 column vectors가 있지만 독립 column은 2개 밖에 없다. 따라서 \(R^{2}\) 만 표현 가능하다.

위 상황에서 \(C(A)\) 는 \(R^{2}\) 의 subspace이다.

 

Null space

 

\[Ax=\begin{bmatrix}1&1&2 \\ 2&1&3 \\ 3&1&4 \\ 4&1&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \mathbf{0}\]

 

위 식을 만족하는 \(x\) 의 vector space를 nullspace of A (\(N(A)\))라 한다. 현재는 \(c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\) 가 \(x\) 의 답이 된다.

위 상황에서 \(N(A)\) 는 \(R^{3}\)의 subspace이다.