4. Vector Spaces

<Vector Space>

Vector들의 linear combination(multiplication, adding)로 무한한 벡터들을 모은 집합이 vector space이다. Vector가 $R^n$ 에 있었다면 space도 $R^n$ 안에 있어야 한다. Vector space의 예로 M: matrix vectorspace, F: consists of all real functions 등이 있다.

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<Subspace>

Vector space 안의 특정 벡터들로 만들어지는 또다른 (column) vector space이다. 예1) $R^2$ 에서 원점을 지나는 직선은 subspace이다. 예2) $R^3$ 에서 $R^3$, line, zero vector는 $R^3$ 의 subspace이다.

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<$Ax=b$>

Column space

$$Ax=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]$$

 

Column space of $A$ ($C(A)$)는 $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]$ 의 linear combination이다.

 

$x$ 가 존재하려면 $b$ 는 column space of $A$ 위에 있어야 한다.

 

$$x_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]$$

 

그런데 현재 $A$ 는 $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]$ 이므로 3개의 column vectors가 있지만 독립 column은 2개 밖에 없다. 따라서 $R^2$ 만 표현 가능하다.

위 상황에서 $C(A)$ 는 $R^2$ 의 subspace이다.

 

Null space

 

$$Ax=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\mathbf{0}$$

 

위 식을 만족하는 $x$ 의 vector space를 nullspace of A ($N(A)$)라 한다. 현재는 $c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$ 가 $x$ 의 답이 된다.

위 상황에서 $N(A)$ 는 $R^3$의 subspace이다.