Rank of an idempotent matrix is equal to the trace thereof

Proof:
Full rank factorization을 한다.

$$A^2=A,A=B_{p\times r}C_{r\times q}$$

$$BCBC=BC$$

left inverse

$$CBC=C$$

right inverse

$$CB=I_{r\times r}$$

$$tr(A)=tr(BC)=tr(CB)=tr(I_{r\times r})=r=rank(A)_\blacksquare$$

Idea:

Rank랑 trace의 관계? -> \(I_{r \times r}\)이 나와줘야 함. 여기서 trace를 취하면 끝. 

-> r by r인 identity를 어떻게 만들지? 

-> Full rank decomposition.

-> 그 후 idempotent matrix 성질 이용.