3. Inverses and LU Factorization

역행렬 만들기

$$EA=I\text{and}AE=I$$ 

이때 $E$는 $A$를 Identity로 만드는 행렬이다. $E$와 $A$를 곱하면 $I$가 나오기 때문에 $E=A^{-1}$로 간주할 수 있다.

$$E=A^{-1}$$

$A^{-1}$와 $A$의 곱이 $I$가 되어야 하기 때문에 $A$는 정사각행렬이어야한다.

정사각행렬이 아닐 때에 대해선 left inverse와 right inverse를 참조한다.

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LU Factorization

$$EA=U$$

$U$는 Upper Triangle Matrix이다. 가우스 소거법을 통해 만들어지는 그것이다. 또한 $E$는 가우스 소거법을 할때 $A$에 곱해지는 행렬이다. 우리가 가우스 소거법을 할 때엔 단번에 행렬을 만들고 바로 $A$를 $U$로 만들지 않았다. 피봇 별로 행 연산을 여러번 하여 $U$를 얻었다. 따로 따로 연산을 시키는 행렬들을 모두 곱하면 단번에 $U$를 구하는 $E$가 된다.

예를들어, 3by3 행렬에서

$$E=E_{32}{E}_{31}{E}_{21}$$

이런 식으로 된다. $E_{21}$은 두번째 행에서 첫번째 행을 빼는 연산을 하는 행렬이고 $E_{31}$은 세번째 행에서 첫번째 행을 빼는 연산을 하는 행렬이다. 가우스 소거법을 한 순서의 역순으로 곱해진다. 연산 순서가 스택처럼 쌓여가는 느낌으로 받아들이면 된다.

$$A=E^{-1}U=LU$$

$E^{-1}$는 Lower Triangle Matrix가 된다. 참고로,

$$E^{-1}=E_{21}^{-1}{E}_{31}^{-1}{E}_{32}^{-1}$$

이다.

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PA=LU

$A$가 행 바꿈을 필요로 한다면 퍼뮤테이션 행렬이 추가된다.

$$PA=LU$$

퍼뮤테이션 행렬의 중요 성질은 트랜스포즈가 역과 같다는 것이다.

$$P^{-1}=P^T$$

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Schur Complement

처음에 좀 생소하였는데 이건 블록 행렬에 가우스 소거법을 적용하는 것이다.

$$\left[\begin{array}{cc}I& \mathbf{0}\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ \mathbf{0}& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right]$$