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Cayley-Hamilton과 나눗셈을 이용해서 무한을 유한하게 만들기 ! DISCLAIMER: 이 설명은 잘못됐을수도있음 Δ(λ)=(λλ1)...(λλn) Δ(λ1)=(λ1λ1)...(λλn)=0 위 식을 이용할 것이다. f(λ)=q(λ)Δ(λ)+h(λ) h(λ)=β0+β1λ+...+βn1λn1 f(λ) 를 나눗셈 하는 식으로 나눈다. 만약 위 식에 eigenvalue를 대입하면 Δ(λ)=0 이므로 $$f(\lambda_1)=h(\lam..
e의 At승의 라플라스 변환 eAt=I+tA+t22!A2+t33!A3+...이때,L[tkk!]=0tkk!estdt=0+01skestdt(Applied partial integration)=s(k+1)이므로L[eAt]=L[I]+L[tA]+L[t22!A2]+...=s1I+s2A+s3A2+...=s1(I+s1A1+s2A2+...)$$=s^{-1}\frac{1}{I-s^{..
Generalized Eigenvectors Generalized Eigenvector Definition A vector vmis a generalized eigenvector of rank m of a matrix A and corresponding to the eigenvalue λ if (AλI)mvm=0 But (AλI)m1vm0 예시 Chain of generalized eigenvectors of length m=3 m = 3이고 (Aλ1I)3v=0 일 때 $$\begin{align}v_3&:=v\v_2&:=(A-\lambda_1I)v_3\v_1&:=(A-\lambda_1I)v_2=(A-\lambda_1I)^2..
Jordan form 모든 square matrix는 similarity transform에 의해 jordan form으로 변환 가능하다. x=Qx¯ 이때 Q는 eigenvector를 모은 행렬이다. Q=[q1q2q3...qn] 그렇다면 x¯x를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. Ax=y AQx¯=Qy¯ Q1AQ=A^ A^A를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. 참고로, AQ=QA^ $$A[q_1 \quad q_2 \quad ... q_n]=[q_1\qu..
p-norm Let p1 be a real number, The p-norm (also called lp-norm) of vector x=(x1,...,xn) is ||x||p:=(i=1n|xi|p)1/p For p = 1 -> taxicab norm For p = 2 -> Euclidean norm For p = -> maxi|xi|
Rank of an idempotent matrix is equal to the trace thereof Proof: Full rank factorization을 한다. A2=A,A=Bp×rCr×q BCBC=BC left inverse CBC=C right inverse CB=Ir×r tr(A)=tr(BC)=tr(CB)=tr(Ir×r)=r=rank(A) Idea: Rank랑 trace의 관계? -> Ir×r이 나와줘야 함. 여기서 trace를 취하면 끝. -> r by r인 identity를 어떻게 만들지? -> Full rank decomposition. -> 그 후 idempotent matrix 성질 이용.
Re, Im을 sin, cos로 합치는 테크닉 Sine으로 합치기sin(ω0k)Re[g^(ejω0)]+cos(ω0k)Im[g^(ejω0)]Re 부분은 복소수(여기서는 g^(ejω0)Re부분으로 정사영, 즉 cos을 한 부분이고 Im부분은 Im부분으로 정사영, 즉 sin을 한 부분이다. sincos+cossin 합차(?)공식 생각하기.|g^(ejω0)|sin(ω0k+g^(ejω0))혹은 거꾸로 생각해봐도 된다.Asin(ωt+α)$$=A\sin(\omega t)\cos(\alpha)+..
Maximum A Posteriori (MAP) m^=argmaxiPm|R(i|r)=argmaxiPR|m(r|i)Pm(i)=argmaxiPR|m(r|i) 마지막은 상수라고 가정하면 제거가능 ex) 1M