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H'H와 HH'는 같은 eigenvalue를 가지는가?

d e t (s I_{m} - H H^{'}) = s^{m - n} d e t (s I_{n} - H^{'} H)

이므로 HH'와 H'H는 s=0의 개수만 다른, 같은 polynomial이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 HH'와 H'H는 같은 non-zero eigenvalue를 가진다.

Geometric multiplicity https://people.math.carleton.ca/~kcheung/math/notes/MATH1107/10/10_algebraic_and_geometric_multiplicities.htmlGeometric multiplicity란

λ

의 eigenvector가 span하는 공간의 차원임.Multiplicity는 A에 대해 따지는 것이 아니고

λ

에 대해 따지는 것임.ex) Geometric multiplicity of

λ_{1}

ex) Algebraic multiplicity of

λ_{1}

Algebraic multiplicity는 characteristic equation에서

λ

가 곱해진 횟수임.Algebraic mu..

Cayley-Hamilton과 나눗셈을 이용해서 무한을 유한하게 만들기 ! DISCLAIMER: 이 설명은 잘못됐을수도있음

Δ (λ) = (λ - λ_{1}) . . . (λ - λ_{n})

Δ (λ_{1}) = (λ_{1} - λ_{1}) . . . (λ - λ_{n}) = 0

위 식을 이용할 것이다.

f (λ) = q (λ) Δ (λ) + h (λ)

h (λ) = β_{0} + β_{1} λ + . . . + β_{n - 1} λ^{n - 1}

f (λ)

를 나눗셈 하는 식으로 나눈다. 만약 위 식에 eigenvalue를 대입하면

Δ (λ) = 0

이므로 $$f(\lambda_1)=h(\lam..

e의 At승의 라플라스 변환

e^{A t} = I + t A + \frac{t^{2}}{2!} A^{2} + \frac{t^{3}}{3!} A^{3} + . . .

L [\frac{t^{k}}{k!}] = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!} e^{- s t} d t

= 0 + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{k}} e^{- s t} d t (Applied partial integration)

= s^{- (k + 1)}

L [e^{A t}] = L [I] + L [t A] + L [\frac{t^{2}}{2!} A^{2}] + . . .

= s^{- 1} I + s^{- 2} A + s^{- 3} A^{2} + . . .

= s^{- 1} (I + s^{- 1} A^{1} + s^{- 2} A^{2} + . . .)

$$=s^{-1}\frac{1}{I-s^{..

Generalized Eigenvectors Generalized Eigenvector Definition A vector

v_{m}

is a generalized eigenvector of rank m of a matrix

A

and corresponding to the eigenvalue

λ

(A - λ I)^{m} v_{m} = 0

(A - λ I)^{m - 1} v_{m} \neq 0

예시 Chain of generalized eigenvectors of length m=3 m = 3이고

(A - λ_{1} I)^{3} v = 0

일 때 $$\begin{align}v_3&:=v\v_2&:=(A-\lambda_1I)v_3\v_1&:=(A-\lambda_1I)v_2=(A-\lambda_1I)^2..

Jordan form 모든 square matrix는 similarity transform에 의해 jordan form으로 변환 가능하다.

x = Q \bar{x}

이때 Q는 eigenvector를 모은 행렬이다.

Q = [q_{1} q_{2} q_{3} . . . q_{n}]

\bar{x}

x

를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다.

A x = y

A Q \bar{x} = Q \bar{y}

Q^{- 1} A Q = \hat{A}

\hat{A}

A

를 Q를 basis로 해서 표현한 것이다. 참고로,

A Q = Q \hat{A}

$$A[q_1 \quad q_2 \quad ... q_n]=[q_1\qu..

p \geq 1

be a real number, The p-norm (also called

l_{p}

-norm) of vector

x = (x_{1}, . . ., x_{n})

| | x | |_{p} := (\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

For p = 1 -> taxicab norm For p = 2 -> Euclidean norm For p =

\infty

m a x_{i} | x_{i} |

Rank of an idempotent matrix is equal to the trace thereof Proof: Full rank factorization을 한다.

A^{2} = A, A = B_{p \times r} C_{r \times q}

B C B C = B C

C B C = C

C B = I_{r \times r}

t r (A) = t r (B C) = t r (C B) = t r (I_{r \times r}) = r = r a n k (A)_{◼}

Idea: Rank랑 trace의 관계? ->

I_{r \times r}

이 나와줘야 함. 여기서 trace를 취하면 끝. -> r by r인 identity를 어떻게 만들지? -> Full rank decomposition. -> 그 후 idempotent matrix 성질 이용.

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