1. Discrete time signal, unit sample function, linear shift-invariant

<Discrete Time Signal>

Discrete time signal인 $x[n]$은 n이 정수가 아닌 지점에선 정의가 되지 않는 함수를 말한다.

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<Unit Sample Function>

$$\delta [n]=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ 0,n\ne 0\end{array}$$

 

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<System Properties>

1. Linearity

$x_1[n]\to y_1[n],x_2[n]\to y_2[n]$ 일 때 $a{x}_1[n]+b{x}_2[n]\to a{y}_1[n]+b{y}_2[n]$ 이면 linear이다.

linearity는 homogeneity와 additivity 둘을 합친 것이다. Homogeneity는 다른 말로 scaling이라 한다. Input이 scaling된 만큼 output도 scaling되는 특징이다. Additivity는 input 둘을 더해서 시스템에 통과시키면 그 output은 input을 따로따로 통과시킨 후 나온 두 개의 output을 더한 것과 같다는 특징이다.

2. Shift Invariant

$x[n-n_0]\to y[n-n_0]$ 이면 shift invariant이다. 연속시간에서 time invariant와 대응된다. Linearity와 shift invariant를 모두 만족하면 LSI(Linear Shift-Invariant) 시스템이라고 한다. 연속시간에서 LTI와 대응된다.

3. Convolution Sum

$$x[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\delta [n-k]=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-r]\delta [r]$$

Unit sample function을 이용해 x[n]을 표현하면 위와 같이 된다.

4.Stability

이산시간신호 과목에선 BIBO만 다룬다. BIBO는 bounded input bounded output의 준말이다. Input이 유한하면 output도 유한하게 나온다는 뜻이다. 만약 input이 유한하고 output도 유한하다면 BIBO stable하다고 말한다.

$$boundedinput:|x[n]|<\mathrm{\infty }$$

$$boundedoutput:|y[n]|<\mathrm{\infty }$$

5. Causality

$n_0$일 때 $n\le n_0$일 때의 input에만 영향을 받는 시스템을 causal하다고 한다.

 

$ex)$$y[n]=x[n]+u[n+1]$

이건 causal이다. Input은 $x[n]$이고 input만 위 조건을 만족하면 되기 때문이다. $u[n+1]$에는 미래의 시간이 들어간다고 생각할 수 있지만 이땐 시간이 아니라 그냥 값이다. Input만 보면 미래의 영향을 받지 않는다.