9.3 Curvature and Components of Acceleration

Tangent Vector

\[\vec{T(t)} = \frac{\vec{r'(t)}}{|\vec{r'(t)}|} \]

 

\[\frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{\frac{ds}{dt}} = \frac{\vec{r'(t)}}{|\vec{r'(t)}|} = \vec{T(t)} \]

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Curvature

\[\kappa = |\frac{d\vec{T}}{ds}| = \frac{|\vec{T'(t)}|}{|\vec{r'(t)}|} \]

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Acceleration

\[\vec{a(t)} = v\frac{d\vec{T}}{dt} + \frac{dv}{dt}\vec{T} \]

\[\vec{N(t)} = \frac{d\vec{T}/dt}{|d\vec{T}/dt|} \]

\(\vec{a(t)} \)는 Normal방향 가속과 Tangent방향 가속으로 분리할 수 있다.

\[\begin{align} \vec{a(t)} &= \kappa v^2\vec{N} + \frac{dv}{dt}\vec{T} \\ &= a_N \vec{N} + a_T \vec{T} \end{align}\]

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Binormal (TNB)

\(\vec{T}\)와 \(\vec{N}\)을 순서대로 외적하면 \(\vec{B}\)를 얻을 수 있다.

\[\begin{align} \vec{B(t)} &= \vec{T(t)} \times \vec{N(t)} \\ \vec{N(t)} &= \vec{B(t)} \times \vec{T(t)} \\ \vec{T(t)} &= \vec{N(t)} \times \vec{B(t)} \end{align} \]