9.4 Gradient

Gradient

그래디언트는 \(f\)가 스칼라 함수일 때 \(f\)가 최대로 증가하는 기울기를 찾는 벡터장이다. 기호로는 \(\nabla f\)로 쓴다. \(f\)를 입력으로, \(\nabla\)를 일종의 함수로 생각하면 \(\nabla f\)는 \(\nabla\)의 출력이 될 것이다. 입력은 스칼라이지만, 출력은 벡터로 나오게 되고 그 출력은 \(f\)가 최대로 증가하는 방향을 가르키는 벡터장이 된다.

 

1차원에서 생각해본다면 우리가 보통 알고있는 기울기와 가깝다.

 

2차원인 경우는 등고선을 생각해보자. 등고선이 좁을수록 가파르고 넓을수록 완만하다. \(\nabla f\)의 출력은 등고선과 수직하게 올라가는 방향의 벡터들의 집합이 된다. 입력을 어느 한 점으로 한다면 그 지점에서 등고선과 수직하고 올라가는 방향을 가르키게 된다.

 

3차원인 경우는 방 안의 온도를 생각해보자. 방 안의 무수히 많은 포인트들에 해당하는 온도가 있을 것이다. \(\nabla f\)는 그 온도가 가장 빠르게 올라가는 방향을 가르키는 벡터의 집합이 된다.