9.4 Gradient

Gradient

그래디언트는 $f$가 스칼라 함수일 때 $f$가 최대로 증가하는 기울기를 찾는 벡터장이다. 기호로는 $\mathrm{\nabla }f$로 쓴다. $f$를 입력으로, $\mathrm{\nabla }$를 일종의 함수로 생각하면 $\mathrm{\nabla }f$는 $\mathrm{\nabla }$의 출력이 될 것이다. 입력은 스칼라이지만, 출력은 벡터로 나오게 되고 그 출력은 $f$가 최대로 증가하는 방향을 가르키는 벡터장이 된다.

 

1차원에서 생각해본다면 우리가 보통 알고있는 기울기와 가깝다.

 

2차원인 경우는 등고선을 생각해보자. 등고선이 좁을수록 가파르고 넓을수록 완만하다. $\mathrm{\nabla }f$의 출력은 등고선과 수직하게 올라가는 방향의 벡터들의 집합이 된다. 입력을 어느 한 점으로 한다면 그 지점에서 등고선과 수직하고 올라가는 방향을 가르키게 된다.

 

3차원인 경우는 방 안의 온도를 생각해보자. 방 안의 무수히 많은 포인트들에 해당하는 온도가 있을 것이다. $\mathrm{\nabla }f$는 그 온도가 가장 빠르게 올라가는 방향을 가르키는 벡터의 집합이 된다.