1. Discrete time signal, unit sample function, linear shift-invariant

<Discrete Time Signal>

Discrete time signal인 \(x[n]\)은 n이 정수가 아닌 지점에선 정의가 되지 않는 함수를 말한다.

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<Unit Sample Function>

\[\delta[n]=\left\{\begin{array}{ll}1, n=0 \\ 0, n \neq 0\end{array}\right.\]

 

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<System Properties>

1. Linearity

\(x_1[n] \rightarrow y_1[n], x_2[n] \rightarrow y_2[n]\) 일 때 \(ax_1[n]+bx_2[n]\rightarrow ay_1[n]+by_2[n]\) 이면 linear이다.

linearity는 homogeneity와 additivity 둘을 합친 것이다. Homogeneity는 다른 말로 scaling이라 한다. Input이 scaling된 만큼 output도 scaling되는 특징이다. Additivity는 input 둘을 더해서 시스템에 통과시키면 그 output은 input을 따로따로 통과시킨 후 나온 두 개의 output을 더한 것과 같다는 특징이다.

2. Shift Invariant

\(x[n-n_0] \rightarrow y[n-n_0] \) 이면 shift invariant이다. 연속시간에서 time invariant와 대응된다. Linearity와 shift invariant를 모두 만족하면 LSI(Linear Shift-Invariant) 시스템이라고 한다. 연속시간에서 LTI와 대응된다.

3. Convolution Sum

\[x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] = \sum_{r=-\infty}^{\infty}x[n-r]\delta [r]\]

Unit sample function을 이용해 x[n]을 표현하면 위와 같이 된다.

4.Stability

이산시간신호 과목에선 BIBO만 다룬다. BIBO는 bounded input bounded output의 준말이다. Input이 유한하면 output도 유한하게 나온다는 뜻이다. 만약 input이 유한하고 output도 유한하다면 BIBO stable하다고 말한다.

\[bounded\; input:|x[n]| < \infty\]

\[bounded\; output:|y[n]| < \infty\]

5. Causality

\(n_0\)일 때 \(n\le n_0\)일 때의 input에만 영향을 받는 시스템을 causal하다고 한다.

 

\(ex)\)\(y[n] = x[n] + u[n+1]\)

이건 causal이다. Input은 \(x[n]\)이고 input만 위 조건을 만족하면 되기 때문이다. \(u[n+1]\)에는 미래의 시간이 들어간다고 생각할 수 있지만 이땐 시간이 아니라 그냥 값이다. Input만 보면 미래의 영향을 받지 않는다.