확률 P와 기대값의 부등식

$$P(X\ge \epsilon )\le \frac{\mathbb{E}(X)}{\epsilon }$$

를 증명한다. 르벡적분을 이용하면,

$$P(X\ge \epsilon )={\int }_{[X\ge \epsilon ]}dP$$

$$={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathbb{1}}_{[X\ge \epsilon ]}dP$$

$$\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{X}{\epsilon }{\mathbb{1}}_{[X\ge \epsilon ]}dP$$

$$\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{X}{\epsilon }dP$$

기대값의 정의에 의해

$$=\frac{\mathbb{E}(X)}{\epsilon }$$