확률 P와 기대값의 부등식

\[P(X \ge \varepsilon) \le \frac{\mathbb{E}(X)}{\varepsilon} \]

를 증명한다. 르벡적분을 이용하면,

\[P(X \ge \varepsilon)=\int_{[X \ge \varepsilon]}dP\]

\[=\int_{\Omega}\mathbb{1}_{[X \ge \varepsilon]}dP\]

\[\le\int_{\Omega}\frac{X}{\varepsilon}\mathbb{1}_{[X \ge \varepsilon]}dP\]

\[\le\int_{\Omega}\frac{X}{\varepsilon}dP\]

기대값의 정의에 의해

\[=\frac{\mathbb{E}(X)}{\varepsilon}\]