Is a pdf a probability measure?

No.

Conditions of a Probability Measure ($P$) 

1) $P$ must return results in $[0,1]$

...

Conditions of a PDF ($f$)

1) ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$

...

Differences

Pdf는 output이 1을 넘을 수 있음. 그러나 probability measure는 output이 [0,1]에 있어야 함.

또한 pdf는 리만-스틸체스 적분을 사용. Probability measure는 르벡적분을 사용.

따라서 pdf는 probability measure가 아님.

 

의미를 보면 다음과 같음.

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$P:\mathcal{F}\to [0,1]$ (이렇게 표현해도 되나?)